四年级数学广角鸡兔同笼教学设计 鸡兔同笼问题对社会的进步,尤其是数学的发展有什么贡献吗?

时间:2021-09-21 06:28:20 作者:admin 43760
四年级数学广角鸡兔同笼教学设计 鸡兔同笼问题对社会的进步,尤其是数学的发展有什么贡献吗?

鸡兔同笼问题对社会的进步,尤其是数学的发展有什么贡献吗?

鸡兔同笼这个问题是这样说的:

《孙子算经》给了一个不算太好理解的解法:

1.将所有动物的脚数除以 2,也就是 94/2 = 47。每只鸡有一对脚,兔子有两对脚。

2.假设所有的动物都是鸡的话,就应该有 35 对脚,但事实上有 47 对脚。

3.如果将一只鸡换成一只兔子的话,用 47 减去 35,得到 12,说明需要有 12 只鸡被换成兔子,这就是兔子的数目。

4.知道了兔子的数目,鸡的数目也就知道了。

不知道你听了这个解法是否明白了,估计第一次听的人,听了之后至少要想几分钟,觉得有点晕,或者在纸上画一画,才能明白。

上述方法是《孙子算经》里给的算法,它不缺乏巧妙性,但是太不直观。不直观的结果,就是无法让人举一反三,因为这个方法只针对这个特定的问题有效。

问题的解法探究

比如要是把问题改一下:

假如有若干辆三轮车和汽车(四轮),一共有20辆,有65个轮子,请问有多少辆汽车,多少辆三轮车?

这个问题就无法用上面的方法解决。因为无论先把车辆的轮子数除以 3,或者除以 4,都不可以,因为 65 既不能被 3 整除,也不能被 4 整除。

这道题在古代就没法解了,中国古代有不少数学著作流传下来,里面解了不少问题,但是中国的这些数学论著相比欧洲的和阿拉伯的有一个大的缺陷,就是它们给出的都是一个个具体问题的解法,而不是一套系统的方法,因此再多解法也难穷尽所有的问题(这就是常说“李约瑟之问”:为何古代中国千百年来只有技术,没有科学?)。

学生如何思考“鸡兔问题”:

题目:现有一笼子,里面有鸡和兔子若干只,数一数,共有头14个,腿38条,求鸡和兔子各有多少只?(请用尽量多的方法解答)

方法一:列表法

如果二年级小朋友做这道题,可以用列表法!直观、易理解,还不容易出错~好啦,我们来看一下!

根据上面的表格,我们可以看出,鸡为9只,兔子为5只。我们在列表的时候不要按顺序列,否则做题的速度会很慢。比如说列完鸡为0只,兔子为14只,发现腿的数量56条,和实际38条相差较大,那么下一个你可以跳过鸡的数量为2只这种情况,直接列鸡的数量为3只,这样做速度会快一些哦!

方法二:最快乐的画图法

画图可以让数学变得形象化,而且经常画图还有助于创造力的培养!假设14只全部是鸡,先把鸡给画好。

14×2=28条,差38-28=10条,而每一只鸡补2条腿就变成兔子,需要把5只鸡每只补2条腿,所以有5只兔子,14-5=9只鸡。

方法三:金鸡独立法

分析:让每只鸡都一只脚站立着,每只兔都用两只后脚站立着,那么地上的总脚数只是原来的一半,即19只脚。鸡的脚数与头数相同,而兔的脚数是兔的头数的2倍,因此从19里减去头数14,剩下来的就是兔的头数19-14=5只,鸡有14-5=9只。

方法四:最逗的吹哨法

分析:假设鸡和兔接受过特种部队训练,吹一声哨,它们抬起一只脚,还有38-14=24只腿在站着。再吹一声哨,它们又抬起一只脚,这时鸡都一屁股坐地上了,兔子还有两只脚立着。这时还有24-14=10只腿在站着,而这10只腿全部是兔子的,所以兔子有10÷2=5只,鸡有14-5=9只。

方法五:最常用的假设法

分析1:假设全部是鸡,则有14×2=28条腿,比实际少38-28=10只,一只鸡变成一只兔子腿增加2条,10÷2=5只,所以需要5只鸡变成兔子,即兔子为5只,鸡为14-5=9只。

分析2:假设全部是兔子,则有14×4=56条腿,比实际多56-38=18只,一只兔子变成一只鸡腿减少2条,18÷2=9只,所以需要9只兔子变成鸡,即鸡为9只,兔子为14 - 9=5只。

方法六:最万能的方程法

分析1:设鸡的数量为x只,则兔子有(14-x)只,有2x 4(14-x)=38,解出x=9,所以有鸡9只,兔子14-9=5只。

分析2:设兔子的数量为x只,则鸡有(14-x)只,有4x 2(14-x)=38.解得x=5,所以兔子有5只,鸡有14-5=9只。

鸡兔同笼的6种方法就给大家讲完了,你都明白了吗?

美国人就是列表求解的,事实上,只要是有整数解的各种二元一次方程的问题,都可以用列表这种笨办法解决。

也就是说,美国小学的做法实际上是教给了大家一个很笨的,但是很通用的工具。这样,能解决一个就能解决很多,虽然办法很笨,很花时间,但总不至于让孩子们无从下手。

至于那些解题技巧,他们很少在小学教,省得大家学不会,有挫败感。那些聪明的孩子,可以去上课外班。

上述笨办法的另一个好处是,学生们在列表的过程中,更感受到数字变化的趋势,慢慢地就会知道大约从多少开始试验,而不是永远从零开始。

相比之下,中国学校里教的那些聪明办法,常常和具体问题有关,除非是悟性很好的学生,普通孩子并不容易举一反三,因此家长总是责怪孩子笨。

当然,在这一类问题中如果数字很大,列表就不太现实了。这时,老师会告诉大家,别着急,到了中学(或者小学高年级),学了解方程自然就会了。很多人在离开学校之后,除非辅导孩子,可能一辈子不会再解方程了,以至于会质疑为什么要在中学学习它。

抽取实质,建构模型

“鸡兔同笼”不一定“同笼”,也不一定有“鸡兔”,它是一类问题的总和,这类问题有很多的变式,比如日本民间流传的“龟鹤问题”、我国古代算术名题“百僧百馍”,在日常生活中,还有租船、植树、比赛得分、购物数量等,应用非常广泛。在解决实际问题之前,需要明确“鸡兔同笼”问题的实质。针对假设法,引导学生建立模型,第一步,假设两个量都变成其中一个量;第二步,求出假设与实际相差的量;第三步,每替换一个引起的差量;第四步,用假设与实际的差量除以替换一个引起的差量就是被替换的数量。教学中,应该从“鸡兔”、“龟鹤”、“百僧百馍”等问题出发,提炼出简单的问题模型,再将模型演绎到各种生活现象和问题情境中,从而促进模型的进一步内化,完成模型的建构与应用。

“鸡兔同笼”问题的教学价值,绝不仅仅在于让学生学会运用一些数学技巧解题,更是要发展学生数学学习能力,掌握数学学习方法,体会蕴涵在知识内的数学思想,使学生在数学学习上得到更好的发展。

一点反思

孩子们多年来学习的数学,实际上塑造了我们一种理性的、条理的、系统化的思维方式。这种方式在我们解决自己一生中遇到的诸多问题时,都有非常重要的作用。比如鸡兔同笼中列表方法的缜密性,画图方法的有序性,各种假设法的合理推理性等等,很多东西都带有长期学习数学这个过程产生的影响,只是由于其作用的方式非常隐晦,不容易被追溯源头,我们平时不容易注意到罢了。

那么如何把形形色色的题目抽象成同一类题目呢?这就涉及做数学应用题的核心关键了,就是要把用自然语言描述的现实世界的问题变成用数学语言描述的问题,比如列出方程。人的作用其实相当于一种翻译器,做练习题就是练习翻译,只要现实世界的问题变成了数学的问题,就能用现成的工具解决它们。

学习数学也好,物理也好,其实关键不在于刷多少道题,而是在于理解它们中工具的作用,然后学会把生活中的问题用数学或者物理学的语言来表达,剩下的就交给工具了。

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